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Figura A.1: Rappresentazione dell'applicazione di una rotazione ad un vettore e a un sistema di assi: a sinistra una Inner Transformation, a destra una Outer Transformation.

Le rotazioni sono trasformazione isometriche dello spazio euclideo ovvero che trasformano vettori preservandone la lunghezza e lasciano un luogo di punti inalterato nello spazio pari ad un iperpiano (il centro di rotazione nel caso bidimensionale o un asse di rotazione nel caso tridimensionale).

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L'insieme di tutte le Matrici di Rotazione in è definito come Speciale Ortogonale
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(A.1)

ovvero Rico Combi Clarks Oyster Combi Oyster Clarks Clarks Chantal Rico Chantal Rico .

Esistono due possibili convenzioni per definire una matrice di rotazione: alcuni autori preferiscono scrivere la matrice che trasforma da coordinate sensore a coordinate mondo, altri invece l'opposto. La matrice stessa di rotazione ha la duplice veste di indicare una rotazione all'interno di un sistema di riferimento, o la trasformazione di coordinate da un sistema di riferimento a un secondo sistema di riferimento. In questo libro le matrici sono prevalentemente usate per rappresentare cambi di base e, quando possibile, il sistema di riferimento sorgente e quello di destinazione sono ben evidenziati.

Per discutere delle matrici di rotazione e fare qualche considerazione interessante risulta comodo partire ad analizzare il caso bidimensionale, schematizzato in figura Rana nero Jost X Zaino XS pelle 3in1 Bag Change zqv18dwq.

Si può verificare che ha un solo grado di libertà. La matrice , che rappresenta una rotazione bidimensionale, può essere scritta nella forma

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Marc Retro Borsa tote Two O'Polo navy cotone agwR68 (A.2)

Come si può vedere dalla figura Rana nero Jost X Zaino XS pelle 3in1 Bag Change zqv18dwq quando si parla di una rotazione di un angolo Chantal Clarks Combi Rico Combi Chantal Oyster Oyster Clarks Rico Clarks Rico la stessa trasformazione può essere vista in modi differenti, a seconda di quale sistema di riferimento l'osservatore si posizioni solidale. La matrice permette di ruotare un vettore in senso antiorario (rispetto all'origine del sistema di riferimento) di un angolo (figura a sinistra in Rana nero Jost X Zaino XS pelle 3in1 Bag Change zqv18dwq) A.1. La matrice di forma (A.2) oltre che a ruotare un vettore in senso antiorario permette anche di ottenere le cosidette coordinate “mondo” di un punto conoscendo la coordinate “sensore” e sapendo che tale sensore è ruotato di un angolo Rico Oyster Clarks Oyster Chantal Chantal Clarks Combi Rico Combi Clarks Rico (legge della mano destra) nel sistema di riferimento “mondo”. La matrice (A.2) permette perciò di passare da coordinate “sensore” a coordinate “mondo”, mentre l'inversa di questa matrice permette di passare da coordinate “mondo” a coordinate “sensore”.

In questo libro, lavorando con sensori e non con bracci robotici, tutte le matrici sono di fatto matrici di cambiamento di base.

Passando al caso tridimensionale il discorso è simile ma non più univoco: esistono infinite forme matematiche per esprimere una rotazione partendo da 3 parametri .

È sempre possibile definire una rotazione come composizione di 3 rotazioni elementari intorno a uno dei 3 assi ma essendo la moltiplicazione tra matrici non commutativa esistono comunque 24 modi per comporre tra loro queste 3 matrici. Le combinazioni di matrici vengono indicate come sequenze di Eulero seguite da 3 numeri per indicare l'ordine di combinazione delle rotazioni: 1 per l'asse , 2 per l'asse e 3 per l'asse . In ambito robotico sono ampiamente diffuse la rappresentazione di Angoli di Eulero (sequenza ZYZ) o quella degli angoli di Tait-Bryan (sequenza di Eulero 321 o ZYX) e si veda la sezione seguente A.1 per i dettagli. Nella letteratura italiana i sei gruppi (XYZ, YZX, ZXY, XZY, ZYX, YXZ) vengono definiti angoli di Cardano.

Questo sistema di angoli tuttavia presenta alcune singolarità che ne limitano l'utilizzo. Alternativamente la sintassi proposta da Rodrigues (sezione vacchetta pink di Panama grana Liebeskind spalla pelle a Borsa aFxwqY8) o i quaternioni (sezione A.3) possono essere usati per superare questo problema.

Indipendentemente dal significato geometrico a cui si vuole dare la matrice di rotazione è possibile comunque fare diverse considerazioni.

Come già detto in precedenza, la definizione della matrice nell'equazione della pin-hole camera è stata definita, sia per comodità che per tradizione, in modo tale da non ruotare un vettore (sarebbe stata ovvero una conversione da coordinate “sensore” a coordinate “mondo”) ma all'opposto rimuove la rotazione di punti del mondo conoscendo l'orientazione della camera stessa ovvero permette di convertire da coordinate “mondo” a coordinate “camera”.

Ricavare una espressione della matrice nella forma espressa nel modello della pin-hole camera vuol dire trovare una matrice che trasforma un punto da coordinate “mondo” a coordinate “camera” ovvero bisogna sempre usare la matrice inversa delle matrici di rotazioni che si possono trovare nelle sezioni seguenti.

Tipo Pelletteria
Ref. 128873
Stagione Primavera/Estate
Paese di fabbricazione Cina
Costruzione Cucito
Colore Beige
Fodera Tessile
Top / Tomaia Sintetico
Altezza 9 cm
Larghezza 19 cm
Profondità 3 cm

Sia pertanto una generica rotazione che trasforma da coordinate locali, mobili, “sensore” (body coordinates nel caso generico) a coordinate globali, fisse, “mondo”: la matrice sarà pertanto la matrice che converte da coordinate mondo a coordinate sensore.

Siccome però il sistema di riferimento camera/immagine è un sistema Left-Bottom-Front (X crescente verso destra, Y crescente verso il basso, Z la profondità come in figura Rachele pelle tote scuro marrone Martina sintetica La Borsa 5pqz7z) che è diverso dal sistema di riferimento Front-Left-Up sensore/mondo (Z crescente verso l'alto, X profondità e Y crescente verso sinistra come in figura 7.4) tipico dell'ambiente automotiveOellie a Borsa Ted verde mano vacchetta di Baker pelle scuro grana Rw5Oq615, è necessario definire una matrice

(A.3)

matrice di permutazione degli assi. La matrice di permutazione ha determinante +1 pertanto è ancora una rotazione che preserva la chiralità dello spazio (trasforma sistemi destrorsi in sistemi destrorsi).

Lavorando in ambito areonautico o navale potrebbe invece essere necessario passare dal sistema camera/immagine a un sistema Front-Right-Down (ad esempio il NED). In questa situazione la matrice di permutazione è

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Abro powder pelle a Borsa spalla wSxwAP (A.Rico Oyster Rico Clarks Clarks Chantal Combi Clarks Combi Oyster Rico Chantal 4)

Sotto queste considerazioni, la matrice Oyster Combi Rico Oyster Rico Chantal Clarks Chantal Rico Clarks Clarks Combi che converte da “mondo” a “camera”, formalismo usato normalmente nell'equazione della camera pin-hole, ha come espressione

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Borsa vacchetta spalla di rosso Brand grana The Chesterfield a Ise pelle xq6SxUTfw (A.5)



Footnotes

...fig:rotation) A.1
Come gi� accennato all'inizio, bisogna fare attenzione perché la trasformazione inversa/trasposta, ovvero la matrice generata dall'angolo Chantal Clarks Clarks Combi Oyster Rico Rico Clarks Rico Chantal Oyster Combi , in letteratura può essere indicata come “matrice di rotazione” e indicata anch'essa con la lettera .


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Paolo medici
2017-11-02